Муниципальное
бюджетное общеобразовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа
№18»
Конкурс
реферативных работ «Макеевские чтения» 2016
Софизмы в математике
Автор: Шеметова Анастасия,
Глазунова
Екатерина,
9 класс,
Научный руководитель: Лукьянова Ольга Георгиевна, учитель математики.
Миасс, 2016
Приложения
Приложение 1. Экскурс в историю
Приложение 2. Арифметические софизмы
Приложение 3. Алгебраические софизмы
Приложение 4. Геометрические софизмы
Приложение 5. Логические софизмы
В математических вопросах нельзя пренебрегать даже самыми
мелкими ошибками.
И. Ньютон
Введение
У ученых есть такое
свойство - поставят в тупик все человечество, а потом целое поколение или даже
несколько поколений с трудом из него выбираются, проявляя чудеса
изобретательности и изворотливости. И одним из средств не только учёных, но и
любознательных остроумных людей, любящих ставить окружающих в тупик, является
«софизм». Нас заинтересовал факт глубокой древности зарождения софизмов и
популярности их у ученых.
Актуальность: наверное,
каждый человек хоть раз в жизни слышал фразу: «Дважды два равно пяти» или «Два
равно трем». Что они обозначают? Кто их выдумал? Имеют ли они какое-нибудь
логическое объяснение или же это лишь вымысел? Чтобы ответить на эти и подобные
им вопросы, мы в своей работе рассматриваем математические софизмы. Математический софизм
– удивительное утверждение, в доказательстве которого кроются незаметные, а
подчас и довольно тонкие ошибки.
Поэтому нам представляется актуальным изучение ошибок в софизмах, потому что их
понимание ведёт к пониманию математике в целом, помогает развивать логику и
навыки правильного мышления. Если нашел ошибку в софизме, значит, ты ее
осознал, а осознание ошибки предупреждает от ее повторения в дальнейших
математических рассуждениях.
Цель: изучение типичных ошибок, которые возникают у учащихся в процессе изучения
математики, их причин и способов предупреждения на примере математических
софизмов.
Задачи:
1.
изучить понятие софизма и
историю его возникновения;
2.
рассмотреть виды софизмов и
дать классификацию их ошибок;
3.
составить сборник разбора
задач на софизмы по различным разделам математики для 6 - 9 классов.
Гипотеза исследования: если в процессе обучения математике целенаправленно и
систематически организовывать работу учащихся над типичными ошибками, на
примере софизмов, то это будет способствовать повышению качества математической
подготовки учащихся.
I. Софизм и история его возникновения
1.1.
Софизм и софистика
Софизм в переводе с греческого означает дословно: уловка, выдумка
или мастерство. Этим термином называют утверждение, являющееся ложным, но не лишенным
элемента логики, за счет чего при поверхностном взгляде на него кажется верным.
Софизмы основаны на сознательном и преднамеренном обмане, нарушении логики.
Софизм -
преднамеренная ошибка, совершаемая с целью запутать противника и выдать ложное
суждение за истинное.
1.2.
Экскурс в историю
Во второй половине V века до н.э. в Греции появились
софисты. Софистами называли группу древнегреческих философов достигших большого
искусства в логике. Они появились во время становления демократии в Афинах и на
подвластных Афинам территориях. Софисты - это мудрецы, но мудрецы особого рода.
Этих мудрецов истина не интересовала. Они были, как правило, платными
«учителями мудрости». Их нанимали политики для того, чтобы организовать свою
предвыборную компанию, в частности, переспорить оппонентов на собрании, а также
для того, чтобы выиграть судебное дело. В Греции софистами называли и простых
ораторов - философов-учителей, задачей которых было научить своих учеников
«мыслить, говорить и делать». Одним из
представителей софистов был философ Протагор, который говорил: «Я обучаю людей риторике, а это и есть
гражданское искусство» (Приложение 1. рис. 1).
Чтобы выйти победителем в словесном
поединке, софисты часто пользовались тем, что противник недостаточно глубоко
знает предмет, о котором идет речь, недостаточно внимателен, и поэтому не в
состоянии отличить ложь от истины. В результате словесного поединка противник
должен был согласиться с доводами софиста и признать себя побежденным, хотя
истина, казалось, была на его стороне. Софизмы существуют и обсуждаются более
двух тысячелетий. Они существовали задолго до философов-софистов, а наиболее
известные и интересные были сформулированы позднее в сложившихся под влиянием
Сократа философских школах (Приложение 1. рис.2).
Термин «софизм» впервые
ввел Аристотель (Приложение 1. рис.3), охарактеризовавший софистику как мнимую,
а не действительную мудрость. К софизмам им были отнесены и «апории Зенона»,
направленные против движения и множественности вещей, и рассуждения собственно
софистов, и все те софизмы, которые открывались в других философских школах.
Это говорит о том, что софизмы не были изобретением одних софистов, а являлись
скорее чем-то обычным для многих школ античной философии. Аристотель называл
софизмом «мнимые доказательства», в которых обоснованность заключения кажущаяся
и обязана чисто субъективному впечатлению, вызванному недостаточностью
логического анализа. Убедительность на первый взгляд многих софизмов, их
«логичность» обычно связана с хорошо замаскированной ошибкой, с использованием,
например, «неразрешённых» или даже «запрещённых» правил или действий.
Современный
софизм, основной задачей которого является манипуляция общественным сознанием,
существует в многочисленных формах. Современные софисты, прежде всего, - специалисты
по пиару. Работа, которых заключается в навязывании обществу тех или иных
политических деятелей. В обычном и распространенном понимании софизм - это
умышленный обман, основанный на нарушении правил. Но обман тонкий и
завуалированный. Цель софизма – выдать ложь за истину.
В
нашей работе мы рассматриваем математические софизмы.
II. Математические софизмы и их классификация
2.1.
Софизмы и типичные ошибки в них
Математический софизм - удивительное утверждение, в доказательстве
которого кроются незаметные, а подчас и довольно тонкие ошибки.
История математики
полна неожиданных и интересных софизмов, разрешение которых порой служило
толчком к новым открытиям. Математические софизмы приучают внимательно и настороженно продвигаться
вперед, тщательно следить за точностью формулировок, правильностью записи
чертежей, за законностью математических операций. Поиск и нахождение ошибок в
софизме способствует пониманию математики в целом и развивает логическое
мышление.
К
типичным ошибкам в софизмах относятся:
ª запрещенные
действия;
ª пренебрежение
условиями теорем, формул и правил;
ª ошибочный
чертеж;
ª опора
на ошибочные умозаключения.
Нередко,
ошибки, допущенные в софизме, настолько умело скрыты, что даже опытный
математик не сразу их выявит. Именно в этом и проявляется связь математики и
философии в софизмах.
2.2.
Математические софизмы
Математические
софизмы делятся на:
1.
Арифметические софизмы - это числовые выражения, имеющие
неточность или ошибку, не заметную с первого взгляда.
Пример:
« Дважды два - пять!».
Возьмем в качестве
исходного соотношения следующее очевидное равенство: 4:4= 5:5. После вынесения
за скобки общего множителя из каждой части равенства будем иметь:
4∙(1:1)=5∙(1:1) или(2∙2)(1:1)=5(1:1) Наконец, зная, что 1:1=1, из соотношения
4(1:1)=5(1:1) устанавливаем: 4=5, 2∙2=5.
Ошибка:
Распределительный закон умножения применяется только для сложения и вычитания: ав + ас = а(в + с).
2. Алгебраические софизмы - намеренно скрытые
ошибки в уравнениях и числовых выражениях.
Алгебра
—
один из больших разделов математики, принадлежащий наряду с арифметикой и
геометрией к числу старейших ветвей этой науки. Задачи, а также методы алгебры
отличаются от других отраслей математики.
Приёмы эти заключаются
обычно в составлении и решении уравнений.
Пример:
Любое отрицательное число больше положительного, имеющего то же абсолютное
значение.
Этот софизм основан на
очевидной истине: «Если в равенстве числитель левой дроби больше знаменателя в
n раз, то и в правой части равенства соотношение внутри дроби будет таким же».
Напишем следующие
равенства:
Другими словами, если в
левой части равенства + a > - a, то и в правой части равенства должно
соблюдаться то же соотношение.
Т.е. – a > + a.
Ошибка:
Чтобы получить из равенства +a>-a равенство –a>+a, нужно первое равенство
умножить на -1, но при это нужно сменить знак неравенства (–a<+a).
3. Геометрические
софизмы – это умозаключения или рассуждения,
обосновывающие какую-нибудь заведомую нелепость, абсурд или противоречивое
утверждение, связанное с геометрическими фигурами и действиями над ними.
Рассмотрим треугольник АВС.
Разделим стороны АВ и
ВС пополам точками M и N. На этих сторонах, как на диаметрах, опишем окружности
с центрами в точках M и N. Окружности пересекут сторону АС в точках D и E.
Углы AEB и BDC
опираются на диаметры АВ и ВС соответственно, значит они прямые.
Следовательно, отрезки
BD и BE, исходящие из точки В, будут перпендикулярны, стороне АС,
следовательно, из точки В можно опустить два перпендикуляра на сторону АС.
Ошибка: Действительно, опустив из B перпендикуляр на AC , получим два
прямоугольных треугольника, гипотенузами которых будут стороны BC и AB, и если
вокруг этих треугольников описать окружности, их гипотенузы будут диаметрами.
Неправильный чертеж. Известно, что окружности, построенные на двух
сторонах треугольника как на диаметрах, пересекаются в одной точке, лежащей на
третьей стороне.
2.3.
Шесть основных ошибок в математических софизмах
1. Деление на 0 (Приложение
2.1).
2. Неправильные выводы из равенства
дробей (Приложение 3.8).
3. Неправильное извлечение квадратного
корня из квадрата выражения (Приложение 3.9).
4. Нарушения правил действия с величинами
(Приложение 3.10).
5. Проведение преобразований над
математическими объектами, не имеющими смысла (Приложение 3.11).
6. Неравносильный переход от одного
неравенства к другому
2.4. Логические софизмы
Один из видов математических софизмов является логический софизм
(Приложение 5).
Пример: Полупустое
или полуполное.
Полупустое
есть то же, что и полуполное. Если равны половины, значит, равны и целые.
Следовательно, пустое есть то же, что и полное
Ошибка: Полупустое
не является половиной чего либо пустого, а является чем либо наполовину
наполненным.
2.5.
Источники софизмов
Источниками софизмов может выступать терминология, которая используется
во время спора. Многие слова имеют несколько смыслов (доктор может быть врачом
или же научным сотрудником, имеющим ученую степень), за счет чего и происходит
нарушение логики. Софизмы в математике, например, основаны на изменении чисел
путем перемножения их и последующего сравнения исходных и полученных данных.
Неправильное ударение тоже может быть оружием софиста, ведь множество слов при
изменении ударения меняют и смысл.
Разбор и решение любого рода математических задач, а в особенности
нестандартных, помогает развивать смекалку и логику. Математические софизмы
относятся именно к таким задачам.
Заключение
Исторические сведения о софистике и софистах
помогли нам разобраться, откуда же все-таки началась история софизмов. Начав
исследование в этой области, мы поняли, что софистика - это целая наука, а
математические софизмы - это лишь часть большого течения.
Разбор софизмов развивает логическое мышление,
помогает сознательному усвоению изучаемого материала, воспитывая вдумчивость,
наблюдательность, критическое отношение к тому, что изучается. Кроме того,
разбор софизмов увлекателен. Мы с большим интересом воспринимали софизмы, чем труднее софизм, тем
большее удовлетворение доставляет его разбор. Порой сам попадаешься на уловки
софиста.
Гипотеза, которую мы ставили в начале работы подтвердилась.
Благодаря знанию софизмов можно научиться искать ошибки в рассуждениях
других, научится грамотно строить свои рассуждения и логические объяснения.
Когда ребенок раз притронется к горячему предмету, то впоследствии он
постарается этого не делать. Он будет много осторожнее. Математические софизмы
заставляют внимательно и настороженно продвигаться вперед, тщательно следить за
точностью формулировок, правильностью записей и чертежей, за допустимостью
обобщений, за законностью выполняемых операций. Все это нужно и полезно. Только
очень сухого человека не может увлечь интересный софизм. Как приятно бывает обнаружить
ошибку в математическом софизме и тем как бы восстановить истину в ее правах.
Математические софизмы показали нам, как важно строго соблюдать правила и
формулировки теорем при логических умозаключениях.
Нам было очень интересно работать над данной
темой. Мы создали сборник «Софизмы из наших школьных тетрадей».
Задания, предложенные нами в работе, можно
использовать как на уроках алгебры и геометрии, так и на внеклассных
мероприятиях.
Список
литературы
1. Софизмы. Алгебра. Геометрия. Тригонометрия, под
редакцией Т.Н. Михеевой. Издательство: Грамотей, 2007 .
2. Б. С. Чернышев. Софисты. Издательство: КомКнига,
2015.
3. http://gamzatovasm.ru/node/88
-Алгебраические софизмы
4.
http://reshit.ru/sofizm
- Геометрические софизмы
5.
http://sophisms.ucoz.ru/index/arifmeticheskie_sofizmy/0-6
-Арифметические софизмы
6.
http://referatwork.ru/category/logika/view/131832_sofizmy
- Логические софизмы
Комментариев нет:
Отправить комментарий