Лист Мёбиуса
Авторы: Лушникова Кира, Мошкина
Алёна,
7 класс, МБОУ « СОШ № 18»,
Научный руководитель:
Лукьянова Ольга Георгиевна,
учитель алгебры и геометрии,
МБОУ « СОШ № 18»
Оглавление
I. Введение
Мышление
начинается с удивления…
(Аристотель)
Что побудило нас к
созданию проекта по математике?
В этом учебном году мы впервые, вместо привычной для нас математики,
стали изучать такие предметы, как геометрия и алгебра. Недавно мы узнали, что математика имеет еще один очень
интересный раздел – топология. Топология – это раздел математики, изучающий
фигуры, которые сохраняют свои свойства при непрерывных деформациях, таких, например,
как растяжение, сжатие или изгибание. Нам стало интересно, как выглядят эти
загадочные фигуры, так мы узнали о существовании ленты Мебиуса.
(
Приложение 1. 1)
В настоящее время, очень популярны нестандартные задачи, нестандартные
решения и применения, мы считаем, что лента Мебиуса относится к разряду таких
применений, поэтому, считаем, что выбранная нами тема актуальна.
Цель
исследовательской работы: изучение и
систематизация свойств ленты Мебиуса.
Объект
исследования: лента Мебиуса.
Предмет
исследования: свойства ленты Мебиуса.
Для достижения цели мы поставили перед собой следующие задачи:
1) познакомиться с биографией Августа Мебиуса,
с историей появления ленты Мебиуса;
2) изготовить ленту Мебиуса;
3) с
помощью опытов рассмотреть свойства ленты Мебиуса;
4) узнать
области применения ленты Мебиуса.
В своей работе мы использовали следующие методы:
1) анализ
литературы по теме;
2) сравнение;
3) обобщение;
4) моделирование
5) эксперимент.
Для многих людей математика
является и трудной, и непонятной, и неинтересной. Наш современник Сухомлинский
считал, «что чувство удивления – могучий источник желания знать: от удивления к
знаниям – один шаг». А математика замечательный предмет для удивления.
Мы хотим рассказать об удивительной
поверхности, которая имеет только одну сторону и относится к «математическим
неожиданностям». Хотя лист Мёбиуса был открыт ещё в XΙX веке, он был актуален и
в XX веке. Интерес к листу Мёбиуса не угас и в наши дни. Удивительные
свойства листа Мёбиуса использовались и используются в технике, в физике, в
живописи, в архитектуре, в оформлении ювелирных изделий, бижутерии и даже в
кулинарии. Он вдохновляет на творчество многих писателей и художников. Нас
очень заинтересовала и заинтриговала эта тема.
Мы решили провести исследование и выявить интересные свойства листа Мёбиуса. Так возникла идея проведения
исследовательской работы, в которую вошли бы теоретический материал и
эксперименты. Мы также сочли важным показать, что наука полна неожиданностей на
примере открытия А.Ф. Мёбиуса, его знаменитого бумажного кольца с сюрпризами.
Мы предполагаем, что лист Мёбиуса, как топологическая фигура, обладает
действительно неожиданными свойствами.
Наше
исследование связано с решением творческой, исследовательской задачи в области
математики.
Исследовательский
проект по содержанию является монопредметным (математика), по стилю исполнения
межпредметным (математика, информатика).
Основными
этапами исследования были:
-
постановка проблемы,
-
овладение методикой изучения,
-
сбор собственного материала,
-
проведение экспериментов для проверки свойств
листа Мёбиуса.
II.
Лента Мёбиуса - начало новой науки топологии
С того момента, как немецкий
математик А. Ф. Мёбиус обнаружил существование удивительного одностороннего
листа бумаги, начала развиваться целая новая ветвь математики, называемая
топологией. Термин «топология» может быть отнесён к двум разделам математики.
Одну топологию, родоначальником которой был Пуанкаре, долгое время называли
комбинаторной. За другой, у истоков которой стоял немецкий учёный Георг Кантор,
закрепилось название общей или теоретико-множественной.
Комбинаторная топология – раздел геометрии.
«Геометрия»-слово греческое, в переводе на русский язык означает «землемерие»,
(«гео» - по – гречески земля, а «метрео» - мерить) изучает свойства фигур. Как
и любая наука геометрия делится на разделы.
1. Планиметрия (лат. слово, «планум» -
поверхность + метрия), раздел геометрии, изучающий свойства фигур на плоскости
(треугольник, квадрат, круг, окружность и т.д.)
2. Стереометрия (греч, «стереос» - пространство
+ метрия) - раздел геометрии, изучающий свойства фигур в пространстве (шар,
куб, параллелепипед и т.д.)
З. Топология (греч. «топос» - место, местность +
логия) является одним из самых «молодых» разделов современной геометрии, в
котором изучаются свойства таких фигур, которые не меняются, если их гнуть, растягивать, сжимать, но не
склеивать и не рвать, т. е не изменяются при деформациях. Примером
топологических объектов являются: буквы И и Н, тонкие длинные воздушные шарики.
Комбинаторная топология изучает
свойства геометрических фигур, остающиеся неизменными при взаимно однозначных и
непрерывных отображениях. Долгое время топология воспринималась как наука,
далёкая от жизни, призванная лишь «прославлять человеческий разум». Но в наше
время выяснилось, что она имеет самое непосредственное отношение к объяснению
устройства мироздания.
А. Мёбиус родился 17 ноября
1790 года на территории княжеской школы Шульпфорте, близ Наумбурга. Его отец
занимал в этой школе должность учителя танцев. Мать Мёбиуса была потомком
Мартина Лютера. Отец умер, когда Августу было всего три года. Начальное образование Мёбиус получил
дома и сразу высказал интерес к математике. С 1803 по 1809 годы учился в
колледже, затем поступил в Лейпцигский университет. Первые полгода, в соответствии
с рекомендациями семьи, он изучал право, но затем принял окончательное решение
посвятить жизнь математике и астрономии. В этом выборе сказалось влияние
преподававшего там известного астронома и математика Моллвейде. С 1816 года
Август Мёбиус работал сначала астрономом-наблюдателем, затем директором в
Плейсенбургской астрономической обсерватории (недалеко от Лейпцига). (
Приложение 2. 1)
Таинственный и знаменитый лист
Мёбиуса (иногда говорят: "лента Мёбиуса") в 1858 г. придумал не сам немецкий геометр Август
Фердинанд Мёбиус, а его горничная. ( Приложение 2. 2)
На улице шел дождь. Была
выкурена трубка, выпита чашка любимого кофе с молоком. Вид из окна навевал
тоску. В кресле сидел мужчина. Мысли были разные, но как-то ничего особенного
не приходило на ум. Только в воздухе витало ощущение, что именно этот день
принесет славу и увековечит имя Августа Фердинанда Мебиуса.
На
пороге комнаты появилась любимая жена. Правда, она была не в хорошем
расположении духа. Правильнее сказать, она была разгневана, что для мирного
дома Мебиусов было почти так же невероятно, как три раза в год увидеть парад
планет, и категорически требовала немедленно уволить служанку, которая
настолько бездарна, что даже не способна правильно сшить ленту.
Хмуро
разглядывая злосчастную ленту, профессор воскликнул: «Ай да, Марта! Девочка не
так уж глупа. Ведь это же односторонняя кольцевая поверхность. У ленточки нет
изнанки!». Идея пришла ему в голову,
когда служанка неправильно сшила ленту.
Открытая
поверхность получила математическое обоснование и имя в честь описавшего ее
математика и астронома.
Лента
вдохновила на подвиги ни одного добряка-профессора. Взял ее на вооружение и цех
парижских портных. Отныне в качестве экзамена для новичка, претендовавшего на
зачисление в цех, было пришивание к подолу юбки тесьмы в форме ленты Мебиуса.
Оценили по достоинству невольное изобретение Марты и учителя. Неугомонным
нерадивым ученикам предлагалось покрасить стороны ленты Мебиуса в разные цвета.
Пыхтя от усердия, школяры проводили за этим занятием немало времени.
Одновременно с Мёбиусом изобрел
этот лист и другой ученик К.Ф. Гаусса – Иоганн Бенедикт Листинг (1808 – 1882),
профессор Геттингенского университета. Свою работу он опубликовал на три года
раньше, чем Мёбиус, – в 1862 году.
Что же поразило этих двух
немецких профессоров? А то, что у
листа Мёбиуса всего одна сторона. Мы же привыкли к тому, что у всякой
поверхности, с которой мы имеем дело (лист бумаги, велосипедная или
волейбольная камера), – две стороны.
Лист Мёбиуса
- это простейшая односторонняя поверхность с краем. Попасть из одной точки этой
поверхности в любую другую можно, не пересекая края. Всякая замкнутая
поверхность, лежащая в трёхмерном пространстве, разделяет его на две части —
ограниченную «внутренность» и неограниченную «внешность», подобно тому, как
замкнутая кривая разделяет плоскость на две части.
Самое же
удивительное, пожалуй, то, что мы смогли её сделать своими руками и это совсем
несложно. Надо лишь взять полоску бумаги и для ясности обозначим углы с одной
стороны ленты А и В, а с другой - С и Д. Далее склеить её концы, предварительно
повернув один из них на 180о. Точка С наложится на точку А, а точка
Д - на точку В.
И тогда
в ваших руках окажется лист, или лента Мёбиуса.
Изучая литературу, мы поняли,
что открытие листа Мёбиуса дало толчок развитию нового раздела
геометрии-топологии. Удивительные
свойства листа Мёбиуса - он имеет один край, одну сторону, - не связаны с его
положением в пространстве, с понятиями расстояния, угла и тем не менее имеют
вполне геометрический характер. Изучением таких свойств занимается топология.
С точки зрения топологии
баранка и кружка - это одно и то же. Сжимая и растягивая кусок резины, можно
перейти от одного из этих тел ко второму. А вот баранка и шар - разные объекты:
чтобы сделать отверстие, надо разорвать резину.
Сама топология, можно сказать,
началась именно с листа Мёбиуса. Слово это придумал Иоганн Бенедикт Листинг.
Наука эта молодая и потому
озорная. Иначе не скажешь о тех правилах игры, которые в ней приняты. Любую
фигуру тополог имеет право сгибать, скручивать, сжимать и растягивать – делать
с ней всё что угодно, только не разрывать и не склеивать. И при этом он будет
считать, что ничего не произошло, все её свойства остались неизменными. Для
него не имеют никакого значения ни расстояния, ни углы, ни площади. А что же
его интересует? Самые общие свойства фигур, которые не изменяются ни при каких
преобразованиях, если только не случается катастрофы – «взрыва» фигуры. Поэтому
иногда топологию называют «геометрией непрерывности».
Она известна и под именем
«резиновая геометрия», потому что топологу ничего не стоит поместить все свои
фигуры на поверхность детского надувного шарика и без конца менять его форму,
следя лишь за тем, чтобы шарик не лопнул. А то, что при этом прямые линии,
например, стороны треугольника, превратятся в кривые, для тополога глубоко
безразлично.
а)
Односторонность
В своей работе «Об объёме
многогранников» Август Мёбиус описал геометрическую поверхность - лист Мёбиуса,
обладающую совершенно невероятным свойством: она имеет только одну сторону! И
мы наглядно можем убедиться, что у этой ленты Мёбиуса действительно всего одна
сторона. Попробуем закрасить перекрученную ленту в два цвета – одним с
внутренней стороны, а другим с внешней. Чтобы мы не придумывали, нам это не
удастся. Но зато муравью, ползущему по листу Мёбиуса, не надо переползать через
край, чтобы попасть на противоположную сторону, как это видно на гравюре
художника Маурица Эшера «Лента Мёбиуса
II». ( Приложение 3.1.)
б)
Непрерывность
На листе Мёбиуса любая точка
может быть соединена с любой другой точкой и при этом муравью на гравюре Эшера
ни разу не придётся переползать через край «ленты». Разрывов нет –
непрерывность полная.( Приложение 3.2)
в) Связность
Если квадрат
разрезать от стороны к стороне, то он, естественно, распадётся на два отдельных
куска. Точно также любой удар ножом разделит яблоко на две части. Но вот чтобы разделить
на две части кольцо, нужно уже два разреза. И два раза придётся резать бублик,
если вы хотите угостить им двух друзей.
А лист
Мёбиуса? Если разрезать его вдоль, он превратится не в два отдельных кольца, а
в одну целую ленту. ( Приложение 3.3)
III. Эксперименты с
листом Мёбиуса
Эксперимент 1.
Для изготовления лист Мёбиуса, нужно
взять два конца ленты, перекрутив одну сторону на 180º, и склеить их. (
Приложение 4.1)
Что получится, если обыкновенное (не перекрученное)
бумажное колечко разрезать вдоль его средней линии? Очевидно – два кольца. А
если вы разрежете лист Мебиуса вдоль его
средней линии, то вместо двух лент получится одна длинная лента с двумя
полуоборотами. ( Приложение 4.
2.)
Эксперимент
2.
Если
разрезать ленту Мёбиуса, отступая от края приблизительно на треть её ширины, то
получаются две ленты, одна - более тонкая
лента Мебиуса, другая - длинная лента с двумя полуоборотами. ( Приложение 4.3)
Эксперимент 3.
Если разрезать ленту на четыре равные части, то мы
получим две ленты с двумя полуоборотами.
( Приложение 4. 4)
Эксперимент 4.
Чтобы
доказать, что лента Мёбиуса
односторонняя поверхность, нужно поставить в любую точку карандаш, маркер и т.
д. и не отрывая, вести до того момента, пока вы не придёте в тоже место, откуда
начинали. ( Приложение 4.5) Результаты
мы вставили в таблицу.
Таблица
1.
Результаты
экспериментов.
№
|
Описание эксперимента
|
Результат эксперимента
|
1
|
1) Поставили точку на
одной стороне обычного кольца и начертили непрерывную линию вдоль него, пока
не пришли снова в отмеченную точку.
2) Поставили точку на
одной стороне листа Мёбиуса и начертили непрерывную линию вдоль него, пока не
пришли снова в отмеченную точку.
|
1) Линия проходит вдоль кольца по одной стороне, приходит в
начальную точку. Вторая сторона остаётся чистой.
2) Непрерывная
линия проходит по двум сторонам, заканчиваясь в начальной точке.
|
2
|
3) Обычное кольцо разрезали посередине вдоль.
4) Лист Мёбиуса разрезали посередине вдоль.
|
3) Получилось два кольца, уже, чем исходное, длина окружности
которого такая же, что и у первоначального.
4) Получилось одно кольцо в виде восьмёрки. Дополнительное исследование
показало, что оно не является листом
Мёбиуса.
|
3
|
5) Разрезали лист Мёбиуса вдоль, отступив одну третью ширины
от края?
|
5) Получили два сцепленных друг с другом кольца: одно маленькое - лист Мёбиуса,
другое большое – перекрученное на 360 градусов ( не лист Мёбиуса)
|
4
|
6) Разрезали лист Мёбиуса вдоль на 3 равные полоски.
7) Разрезали лист Мёбиуса вдоль на 4 равные полоски.
|
6) Получилось 2 кольца. Одно из них вдвое длиннее
первоначальной ленты и вдвое
перекручено (не является листом Мёбиуса); другое лист Мёбиуса.
7) Получилось два больших сцеплённых кольца, не являющихся листами Мёбиуса.
|
IV. Применение листа Мёбиуса
в жизни
1)
В технике
Кинолента
В 1923году выдан патент
№1442632 знаменитому американскому изобретателю Ли де Форс, который предложил
записывать звук на киноленте без смены катушек, сразу с двух сторон – это лента
Мёбиуса ( Приложение 5.1)
Шлифовальная лента
В 1969 году советский изобретатель
Губайдуллин получил авторское
свидетельство №236278 на бесконечную шлифовальную ленту, работающими обеими
своими сторонами. Он предложил натянуть сделанную из специального материала
ленту Мёбиуса на два вращающих ролика и покрыть ее крупинками твердого
абразива. Такая лента служит в двое больше обычной.(Приложение 5.2)
Ленточный конвейер в виде ленты
Мебиуса может работать дольше, он
равномерно изнашивается с двух сторон.
Матричный принтер
Во многих матричных принтерах
красящая лента также имеет вид листа Мёбиуса для увеличения её ресурса. (Приложение
5.3)
Силовая
конструкция
Силовая
конструкция (квадратная), мешалка (большая круглая), винты, испытывающиеся на
модели судна (два маленьких круглых). (Приложение
5.4)
2) В архитектуре
Аттракцион “Американские горки”
напоминает форму листа Мебиуса. В Москве находятся самые большие в мире
горки такого вида. (Приложение 5.5)
Книжная полка Infinity:
Дизайнер Джобс Келевий сломал форму, когда разрабатывал свой книжный шкаф Инфинити. Используя знак бесконечности и
что-то похожее на ленту Мебиуса, в полке Инфинити дизайнер воплотил физическое представление
о бесконечности. Это значит, что если вы прочитали все книги этой полки,
считайте, что вы постигли всю бесконечность литературы. (Приложение 5.6)
Грандиозная
библиотека в Казахстане
Компания BIG Architects
представила невероятный проект новой библиотеки, который будет служить в
качестве многофункционального культурного центра Астаны, Казахстан.
Названная в честь Нурсултана
Назарбаева, первого президента республики Казахстан, новая библиотека будет
охватывать не только книги, но и пространство и время. Проект включает 4
архетипа – круг, ротонда, арка и юрта – которые сливаются в форму листа Мёбиуса. В
процессе проектирования BIG так же применяла высокотехнологическое
моделирование для вычислений теплового воздействия на оболочку здания и
максимального затенения. (Приложение 5.7.)
Само по себе здание сложное
сопоставление различных идей и концепций. Оно образует спиральную окружность
вокруг крепкого вертикального стержня, который позволяет посетителям библиотеки
передвигаться между этажами. Изгибы здания образуют лист Мёбиуса, таким
образом, внутреннее пространство переходит во внешнее и обратно. Подобным образом стены
переходят в крышу, а крыша трансформируется обратно в стены. Естественный свет
проникает во внутренние коридоры сквозь геометрические отверстия во внешней
оболочке, создавая прекрасно освещённые пространства, идеальные для чтения. (Приложение
5.8)
В Китае построят мост в виде ленты Мебиуса
В китайской провинции Хунань появится
огромный пешеходный мост в виде ленты Мебиуса. Его проектировщики, голландское
архитектурное бюро Next, утверждают, что ничего подобного в мире еще не было.
Мост будет возведен над
рекой в Мейкси-Лейк - китайском "городе будущего", сообщает Fox News.
Это экспериментальный проект, который пока находится в стадии конструкции.
Предполагается, что Мейкси-Лейк станет идеальной зеленой зоной с экологичными
зданиями и оживленным деловым районом. Город построен на множестве
искусственных рек, над одной из которых и появится мост.
По словам архитекторов из
Next, на создание проекта их вдохновила не только лента Мебиуса, но и старинная
китайская живопись, где часто встречается орнамент из узлов. Мост будет
построен из стали, выкрашенной в красный цвет, и составит 24 метра в высоту и
150 метров в длину. У него будет несколько уровней на разных высотах,
переходящих друг в друга. Несмотря на свою экзотичность, мост должен стать
очень практичным и удобным для прогулок.
Работа должна завершиться
к 2016 году (Приложение 5.9)
3) Скульптура
В Москве, на Комсомольском
проспекте около кинотеатра “Горизонт» находится памятник “Ленте Мёбиуса”.
Памятник был установлен в 1997 году (Приложение
5.10)
4) Шарф Мёбиуса
Интересная вещь шарф Мёбиуса
появившаяся в гардеробах 21 века. Шарф Мёбиуса можно сделать самому связав
концы шарфа, перекрутив на один оборот. (Приложение 5.11)
5) Символ математики
Лист Мёбиуса считают символом
современной математики, так как именно он дал толчок новым математическим
исследованиям. (Приложение 5.12)
6) Лист Мёбиуса в физике и астрономии
Физики
утверждают, что все оптические законы основаны на свойствах листа Мебиуса, в
частности, отражение в зеркале – это своеобразный перенос во времени,
краткосрочный, длящийся сотые доли секунды, ведь мы видим перед собой…правильно,
зеркального своего двойника.
Существует гипотеза, что наша
Вселенная вполне вероятно замкнута в тот же самый лист Мёбиуса, согласно теории
относительности, чем больше масса, тем больше кривизна пространства. Эта теория
полностью подтверждает предположение, что космический корабль, всё время
летящий прямо, может вернуться к месту старта, это подтверждает неограниченность
и конечность Вселенной.
7)
Лист Мёбиуса в фантастике
Лист Мёбиуса также постоянно
встречается в научной фантастике, например, в рассказе Артура Кларка «Стена
Темноты». Иногда научно – фантастические рассказы предполагают, что наша
Вселенная может быть некоторым обобщенным листом Мёбиуса. В рассказе автора
А.Дж. Дейча, бостонское метро строит новую линию, маршрут которой становится
настолько запутанным, что превращается в лист Мёбиуса, после чего на этой линии
начинают исчезать поезда.
8)
В цирке
Мёбиусовый лист понравился не
только математикам, но и фокусникам.
Более 100 лет лист Мёбиуса используется для
показа различных фокусов и развлечений. Удивительные свойства листа
демонстрировались даже в цирке, где подвешивались яркие ленты, склеенные в виде
листов Мёбиуса. Фокусник закуривал сигарету и горящим концом дотрагивался до
средней линии каждой ленты, которая была выполнена из калийной селитры.
Огненная дорожка превращала первую ленту в более длинную, а вторую - в две
ленты, продетая одна в другую. (В этом случае фокусник разрезал лист Мёбиуса не
посередине, а на расстоянии в одну треть его ширины).
V. Ленты Мёбиуса в природе
Как зарождаются ленты Мебиуса,
наверняка можно наблюдать где-то в природе. Где может происходить вращение по
кругу с заворотом во внутрь?
Возможно, это водовороты,
образованные при слиянии двух рек, одной стремительной, а другой тихой. Медленное
течение тормозит быстрее, вода заворачивается по кругу и уходит вглубь. Это
место очень опасное, человека, попавшего в такую воронку, может затянуть на
глубину. Смерчи, ураганы и тайфуны – это пересечение ветров. Тогда возможно и
такое: встретятся две линии магнитных потоков и образуют магнитную систему в
форме вращающегося диска. Если на него падают лучи Солнца, он воспринимается,
как летающая тарелка. Эти магнитные волчки могут катиться по поверхности,
подпрыгивать, раскачиваться, проникать вглубь, подниматься вверх и улетать в
Космос, они то и могут оставлять рисунки на полях. Если в такой путешествующий
магнитный клубок врежется самолет, у него могут отказать приборы. Бермудские
треугольники, путешествующие по океану, Черные Дыры в Космосе – все это те же
пространственные магниты.
Человек – это тоже вихрь,
стоящий на пересечении двух направлений: вертикальной линии взаимодействия
между Землей и другими планетами и горизонтальной линии вращения Земли.
Выходит, что и любой предмет – это разновидность одной и той же организации.
Есть гипотеза, что спираль ДНК сама по себе тоже является
фрагментом ленты Мёбиуса, и только поэтому генетический код так сложен
для расшифровки и восприятия. Больше того – такая структура вполне логично
объясняет причину наступления биологической смерти: спираль замыкается сама на
себя, и происходит самоуничтожение.(Приложение 6.1)
Создаваемые системы в
пространстве далеко не всегда имеют правильную форму. Их могут заворачивать не
только два пересекающихся направления. Здесь может происходить нечто более
сложное, мудреная конфигурация предмета определяет совокупность составляющих
его систем.
Система «летящих чисел» – когда
по дате строительства дома, по его расположению относительно частей света можно
установить зоны положительной и отрицательной энергии. Определяются области
помещения, где идет восхождение энергии, и районы, где она направлена вниз.
Вычисляются периоды, когда одна энергия переходит в другую, то есть когда
происходит разворачивание ленты Мебиуса. По дате рождения человека можно
определить его удачные и неудачные дни, строятся гороскопы. Можно так же
просчитать, находится ли жилище в гармонии с его обитателем.
Если у человека есть сердце, то
Сердце есть и у Вселенной. Кровеносная система устроена таким образом, что путь
любой клетки крови обязательно проходит через сердце. Сердце должно быть
соединено с каждой точкой своей системы лентой Мёбиуса.
Почему она названа лентой, ведь
через точку может проходить только линия? Но тогда мы не сможем наблюдать, как
эта замкнутая линия разворачивается. Лента – это линия, но обладающая
свойствами плоскости. Что же производит разворачивание этой ленты на сто
восемьдесят градусов? Вращательное движение. То самое движение, которое
запущено во всей Вселенной: вращает Луну вокруг Земли, Землю вокруг Солнца,
электрон вокруг ядра атома и т.д.
Любое поступательное
перемещение должно всегда быть вращательным – это движение по ленте Мёбиуса
большого радиуса. Любая лента Мёбиуса тоже в свою очередь вращается
относительно определенной оси.
VI. Открытие Клейна
Лист
Мёбиуса - первая односторонняя поверхность, которую открыл учёный.Позже
математики открыли ещё целый ряд односторонних поверхностей. Лист Мебиуса – «условно
двумерный объект» (он получен из плоской полоски), то его подружка - Бутылка Клейна полноправно занимает 3
измерения. Бутылка Клейна - 3D подружка плоского Мебиуса. Запустите сюда муравья, и бедняга побывает во всех точках Бутылки
Клейна – не делая в ней дырок, и не переползая через край. (Приложение 6.2)
Если Лист Мёбиуса мы резали вдоль и поперёк. Что
же будет, если разрезать Бутылку Клейна? Это невероятно, но получился Лист Мебиуса.
Резать, правда, нужно так, что бы режущий предмет делал оборот в 360 градусов
между начальной точкой и конечной. Поскольку бутылку Клейна можно разрезать
так, чтобы получились два листа Мебиуса, должна существовать и обратная
операция, о которой говорится в следующем шуточном стихотворении неизвестного
автора:
Великий Феликс,
Славный Клейн,
Мудрец из Геттингена,
Считал, что Мебиуса лист—
Дар свыше несравненный.
Гуляя как-то раз в саду.
Воскликнул Клейн наш пылко:
"Задача проста —
Возьмем два листа
И склеим из них бутылку."
Бутылка Клейна в трёх измерениях - это аналог Листа
Мёбиуса в двух измерениях. (Приложение 6.3)
В ходе работы над проектом мы узнали много
интересного о Мёбиусе.
Немецкий геометр и астроном, профессор Лейпцигского
университета. Основные труды по геометрии. Впервые ввел в проективную геометрию
систему координат и аналитические методы исследования, получил новую
классификацию кривых и поверхностей, установил общее понятие проективного
преобразования, исследовал коррелятивные преобразования.
Лист Мебиуса - самая первая из односторонних поверхностей,
положившая начало целому направлению в геометрии. По-прежнему привлекает к себе
внимание учёных, изобретателей, художников и нас учеников. Нам было очень
интересно изучать свойства листа Мёбиуса:
·
Лист Мебиуса имеет один край, одну сторону.
·
Лист Мёбиуса – топологический объект. Как и
любая топологическая фигура, он не меняет своих свойств, пока его не разрезают,
не разрывают или не склеивают его отдельные куски.
·
Один край и одна сторона листа Мебиуса не
связаны с его положением в пространстве, не связаны с понятиями расстояния.
·
Лист Мёбиуса находит многочисленные применения в
кулинарии, в технике, в физике, в живописи, в архитектуре, в оформлении
ювелирных изделий и бижутерии и изучении свойств Вселенной. Вдохновлял он на
творчество многих писателей и художников.
·
Лента Мебиуса вдохновляет многих художников на
создание известных скульптур и картин.
·
Чудесные свойства ленты порождают множество
научных трудов, изобретений (весьма полезных и совершенно нереальных), а также
множество фантастических рассказов.
Конечно же, главная ценность листа Мёбиуса состоит в том, что он
дал толчок новым обширным математическим исследованиям. Именно поэтому его
часто считают символом современной математики и изображают на различных
эмблемах и значках, как, например, на значке механико-математического
факультета Московского университета.( Приложение 7.1)
В ходе данного исследования
была найдена и переработана разнообразная информация, посвященная объекту
исследования: справочная литература, источники сети Интернет.
Своими
результатами исследования о ленте Мебиуса мы поделились с одноклассниками.
Данной темой многие обучающиеся заинтересовались. Материал исследовательской
работы будет полезен любителям математики для расширения математического
кругозора. Его можно использовать учителям математики, как на уроках, так и во
внеклассной и кружковой работе.
Опыты с
лентой Мёбиуса не исчерпаны. Они бесконечны, интересны и зависят от
собственного терпения.
Данная
тема доказала увлекательность такой науки как математика.
Лист Мебиуса – символ
математики,
Что служит высшей мудрости
венцом…
Он полон неосознанной романтики:
В нем бесконечность свернута
кольцом.
В нем – простота, и вместе с
нею – сложность,
Что недоступно даже мудрецам:
Здесь на глазах преобразилась
плоскость
В поверхность без начала и
конца.
Как о порог, об этот ноль
споткнешься.
Но как бы, ни был прежний путь
тернист,
Вновь выбирай (и ты не
ошибешься!)
Путь в бесконечность – Мёбиуса
лист.
Приложение 1
1.
Лист Мёбиуса
Приложение 2
1.
Август Фердинанд Мёбиус
2.
Служанка Мёбиуса
Приложение 3
1.
Односторонняя
поверхность
2.
Картина
Эшера
3.
Связность ленты
Приложение 4
1.
Изготовление листа Мёбиуса
2.
Разрез на две части
3.
Разрез на три части
4.
Разрез на 4 части
5.
Проверка односторонности
Приложение 5
1.
Кинолента
2.
Шлифовальная лента
3.
Матричный принтер
4.
Силовая конструкция
5.
Аттракционы
6.
Книжная полка Infinity
7.
Самая большая библиотека мира в Казахстане
8.
Библиотека внутри
9.
Мост Мебиуса в Китае.
Мост должен стать удобным для туристов.
10.
Скульптура в Москве «Лист Мёбиуса»
11.
Шарф Мёбиуса
12.
Символ математики
Приложение 6
1.
Спираль ДНК
2.
Бутылка Клейна
3.
Бутылка Клейна в разрезе
Приложение 7
1.
Эмблема механико-математического факультета в
Санкт-Петербурге
