среда, 28 декабря 2016 г.

У ученых есть такое свойство - поставят в тупик все человечество, а потом целое поколение или даже несколько поколений с трудом из него выбираются, проявляя чудеса изобретательности и изворотливости. И одним из средств не только учёных, но и любознательных остроумных людей, любящих ставить окружающих в тупик, является «софизм». Нас заинтересовал факт глубокой древности зарождения софизмов и популярности их у ученых.

Актуальность: наверное, каждый человек хоть раз в жизни слышал фразу: «Дважды два равно пяти» или «Два равно трем». Что они обозначают? Кто их выдумал? Имеют ли они какое-нибудь логическое объяснение или же это лишь вымысел? Чтобы ответить на эти и подобные им вопросы, мы в своей работе рассматриваем математические софизмы. Математический софизм – удивительное утверждение, в доказательстве которого кроются незаметные, а подчас и довольно тонкие ошибки. Поэтому нам представляется актуальным изучение ошибок в софизмах, потому что их понимание ведёт к пониманию математике в целом, помогает развивать логику и навыки правильного мышления. Если нашел ошибку в софизме, значит, ты ее осознал, а осознание ошибки предупреждает от ее повторения в дальнейших математических рассуждениях.

Цель: изучение типичных ошибок, которые возникают у учащихся в процессе изучения математики, их причин и способов предупреждения на примере математических софизмов.

Задачи:

1. изучить понятие софизма и историю его возникновения;

2. рассмотреть виды софизмов и дать классификацию их ошибок;

3. составить сборник разбора задач на софизмы по различным разделам математики для 6 - 9 классов.

Гипотеза исследования: если в процессе обучения математике целенаправленно и систематически организовывать работу учащихся над типичными ошибками, на примере софизмов, то это будет способствовать повышению качества математической подготовки учащихся.

I. Софизм и история его возникновения

1.1. Софизм и софистика

Софизм в переводе с греческого означает дословно: уловка, выдумка или мастерство. Этим термином называют утверждение, являющееся ложным, но не лишенным элемента логики, за счет чего при поверхностном взгляде на него кажется верным. Софизмы основаны на сознательном и преднамеренном обмане, нарушении логики.

Софизм - преднамеренная ошибка, совершаемая с целью запутать противника и выдать ложное суждение за истинное.

1.2. Экскурс в историю

Во второй половине V века до н.э. в Греции появились софисты. Софистами называли группу древнегреческих философов достигших большого искусства в логике. Они появились во время становления демократии в Афинах и на подвластных Афинам территориях. Софисты - это мудрецы, но мудрецы особого рода. Этих мудрецов истина не интересовала. Они были, как правило, платными «учителями мудрости». Их нанимали политики для того, чтобы организовать свою предвыборную компанию, в частности, переспорить оппонентов на собрании, а также для того, чтобы выиграть судебное дело. В Греции софистами называли и простых ораторов - философов-учителей, задачей которых было научить своих учеников «мыслить, говорить и делать». Одним из представителей софистов был философ Протагор, который говорил: «Я обучаю людей риторике, а это и есть гражданское искусство» (Приложение 1. рис. 1).

Чтобы выйти победителем в словесном поединке, софисты часто пользовались тем, что противник недостаточно глубоко знает предмет, о котором идет речь, недостаточно внимателен, и поэтому не в состоянии отличить ложь от истины. В результате словесного поединка противник должен был согласиться с доводами софиста и признать себя побежденным, хотя истина, казалось, была на его стороне. Софизмы существуют и обсуждаются более двух тысячелетий. Они существовали задолго до философов-софистов, а наиболее известные и интересные были сформулированы позднее в сложившихся под влиянием Сократа философских школах (Приложение 1. рис.2).

Термин «софизм» впервые ввел Аристотель (Приложение 1. рис.3), охарактеризовавший софистику как мнимую, а не действительную мудрость. К софизмам им были отнесены и «апории Зенона», направленные против движения и множественности вещей, и рассуждения собственно софистов, и все те софизмы, которые открывались в других философских школах. Это говорит о том, что софизмы не были изобретением одних софистов, а являлись скорее чем-то обычным для многих школ античной философии. Аристотель называл софизмом «мнимые доказательства», в которых обоснованность заключения кажущаяся и обязана чисто субъективному впечатлению, вызванному недостаточностью логического анализа. Убедительность на первый взгляд многих софизмов, их «логичность» обычно связана с хорошо замаскированной ошибкой, с использованием, например, «неразрешённых» или даже «запрещённых» правил или действий.

Современный софизм, основной задачей которого является манипуляция общественным сознанием, существует в многочисленных формах. Современные софисты, прежде всего, - специалисты по пиару. Работа, которых заключается в навязывании обществу тех или иных политических деятелей. В обычном и распространенном понимании софизм - это умышленный обман, основанный на нарушении правил. Но обман тонкий и завуалированный. Цель софизма – выдать ложь за истину.

В нашей работе мы рассматриваем математические софизмы.

II. Математические софизмы и их классификация

2.1. Софизмы и типичные ошибки в них

Математический софизм - удивительное утверждение, в доказательстве которого кроются незаметные, а подчас и довольно тонкие ошибки.

История математики полна неожиданных и интересных софизмов, разрешение которых порой служило толчком к новым открытиям. Математические софизмы приучают внимательно и настороженно продвигаться вперед, тщательно следить за точностью формулировок, правильностью записи чертежей, за законностью математических операций. Поиск и нахождение ошибок в софизме способствует пониманию математики в целом и развивает логическое мышление.

К типичным ошибкам в софизмах относятся:

ª запрещенные действия;

ª пренебрежение условиями теорем, формул и правил;

ª ошибочный чертеж;

ª опора на ошибочные умозаключения.

Нередко, ошибки, допущенные в софизме, настолько умело скрыты, что даже опытный математик не сразу их выявит. Именно в этом и проявляется связь математики и философии в софизмах.

2.2. Математические софизмы

Математические софизмы делятся на:

1. Арифметические софизмы - это числовые выражения, имеющие неточность или ошибку, не заметную с первого взгляда.

Пример: « Дважды два - пять!».

Возьмем в качестве исходного соотношения следующее очевидное равенство: 4:4= 5:5. После вынесения за скобки общего множителя из каждой части равенства будем иметь: 4∙(1:1)=5∙(1:1) или(2∙2)(1:1)=5(1:1) Наконец, зная, что 1:1=1, из соотношения 4(1:1)=5(1:1) устанавливаем: 4=5, 2∙2=5.

Ошибка: Распределительный закон умножения применяется только для сложения и вычитания: ав + ас = а(в + с).

2. Алгебраические софизмы - намеренно скрытые ошибки в уравнениях и числовых выражениях.

Алгебра — один из больших разделов математики, принадлежащий наряду с арифметикой и геометрией к числу старейших ветвей этой науки. Задачи, а также методы алгебры отличаются от других отраслей математики.

Приёмы эти заключаются обычно в составлении и решении уравнений.

Пример: Любое отрицательное число больше положительного, имеющего то же абсолютное значение.

Этот софизм основан на очевидной истине: «Если в равенстве числитель левой дроби больше знаменателя в n раз, то и в правой части равенства соотношение внутри дроби будет таким же».

Напишем следующие равенства:

и ; т.е. .

Другими словами, если в левой части равенства + a > - a, то и в правой части равенства должно соблюдаться то же соотношение.

Т.е. – a > + a.

Ошибка: Чтобы получить из равенства +a>-a равенство –a>+a, нужно первое равенство умножить на -1, но при это нужно сменить знак неравенства (–a<+a).

3. Геометрические софизмы – это умозаключения или рассуждения, обосновывающие какую-нибудь заведомую нелепость, абсурд или противоречивое утверждение, связанное с геометрическими фигурами и действиями над ними.

Пример: «Из точки на прямую можно опустить два перпендикуляра.»

Рассмотрим треугольник АВС.

Разделим стороны АВ и ВС пополам точками M и N. На этих сторонах, как на диаметрах, опишем окружности с центрами в точках M и N. Окружности пересекут сторону АС в точках D и E.

Углы AEB и BDC опираются на диаметры АВ и ВС соответственно, значит они прямые.

Следовательно, отрезки BD и BE, исходящие из точки В, будут перпендикулярны, стороне АС, следовательно, из точки В можно опустить два перпендикуляра на сторону АС.

Ошибка: Действительно, опустив из B перпендикуляр на AC , получим два прямоугольных треугольника, гипотенузами которых будут стороны BC и AB, и если вокруг этих треугольников описать окружности, их гипотенузы будут диаметрами. Неправильный чертеж. Известно, что окружности, построенные на двух сторонах треугольника как на диаметрах, пересекаются в одной точке, лежащей на третьей стороне.

2.3. Шесть основных ошибок в математических софизмах

1. Деление на 0 (Приложение 2.1).

2. Неправильные выводы из равенства дробей (Приложение 3.8).

3. Неправильное извлечение квадратного корня из квадрата выражения (Приложение 3.9).

4. Нарушения правил действия с величинами (Приложение 3.10).

5. Проведение преобразований над математическими объектами, не имеющими смысла (Приложение 3.11).

6. Неравносильный переход от одного неравенства к другому

(Приложение 3.5).

2.4. Логические софизмы

Один из видов математических софизмов является логический софизм (Приложение 5).

Пример: Полупустое или полуполное.

Полупустое есть то же, что и полуполное. Если равны половины, значит, равны и целые. Следовательно, пустое есть то же, что и полное

Ошибка: Полупустое не является половиной чего либо пустого, а является чем либо наполовину наполненным.

2.5. Источники софизмов

Источниками софизмов может выступать терминология, которая используется во время спора. Многие слова имеют несколько смыслов (доктор может быть врачом или же научным сотрудником, имеющим ученую степень), за счет чего и происходит нарушение логики. Софизмы в математике, например, основаны на изменении чисел путем перемножения их и последующего сравнения исходных и полученных данных. Неправильное ударение тоже может быть оружием софиста, ведь множество слов при изменении ударения меняют и смысл.

Разбор и решение любого рода математических задач, а в особенности нестандартных, помогает развивать смекалку и логику. Математические софизмы относятся именно к таким задачам.

Заключение

Исторические сведения о софистике и софистах помогли нам разобраться, откуда же все-таки началась история софизмов. Начав исследование в этой области, мы поняли, что софистика - это целая наука, а математические софизмы - это лишь часть большого течения.

Разбор софизмов развивает логическое мышление, помогает сознательному усвоению изучаемого материала, воспитывая вдумчивость, наблюдательность, критическое отношение к тому, что изучается. Кроме того, разбор софизмов увлекателен. Мы с большим интересом воспринимали софизмы, чем труднее софизм, тем большее удовлетворение доставляет его разбор. Порой сам попадаешься на уловки софиста.

Гипотеза, которую мы ставили в начале работы подтвердилась.

Благодаря знанию софизмов можно научиться искать ошибки в рассуждениях других, научится грамотно строить свои рассуждения и логические объяснения. Когда ребенок раз притронется к горячему предмету, то впоследствии он постарается этого не делать. Он будет много осторожнее. Математические софизмы заставляют внимательно и настороженно продвигаться вперед, тщательно следить за точностью формулировок, правильностью записей и чертежей, за допустимостью обобщений, за законностью выполняемых операций. Все это нужно и полезно. Только очень сухого человека не может увлечь интересный софизм. Как приятно бывает обнаружить ошибку в математическом софизме и тем как бы восстановить истину в ее правах. Математические софизмы показали нам, как важно строго соблюдать правила и формулировки теорем при логических умозаключениях.

Нам было очень интересно работать над данной темой. Мы создали сборник «Софизмы из наших школьных тетрадей».

Задания, предложенные нами в работе, можно использовать как на уроках алгебры и геометрии, так и на внеклассных мероприятиях.

Список литературы

1. Софизмы. Алгебра. Геометрия. Тригонометрия, под редакцией Т.Н. Михеевой. Издательство: Грамотей, 2007 .

2. Б. С. Чернышев. Софисты. Издательство: КомКнига, 2015.

3. http://gamzatovasm.ru/node/88 -Алгебраические софизмы

4. http://reshit.ru/sofizm - Геометрические софизмы

5. http://sophisms.ucoz.ru/index/arifmeticheskie_sofizmy/0-6 -Арифметические софизмы

6. http://referatwork.ru/category/logika/view/131832_sofizmy - Логические софизмы

Устный счёт – калькулятор в голове

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа №18»

Конкурс реферативных работ «Макеевские чтения» 2016

Устный счёт – калькулятор в голове

Авторы: Глазкова Виктория,

Сатеева Анна, 9 класс

Научный руководитель:

Лукьянова Ольга Георгиевна,

учитель математики.

Миасс, 2016

Оглавление

Введение

I. Способы и приемы устного счета

1.1. История возникновения устного счета

1.2. Приёмы устного счета

1.2.1. Общие приемы устного счета

1.2.2. Нестандартные приемы устного счета

1.2.3. Специальные приемы устного счета

II. Люди-феномены

Заключение

Список литературы

«Твой ум без числа ничего не постигает»

Н.Кузанский.

Введение

В наш век - век новых технологий и развития компьютерной техники, разговор об устном счете может показаться неуместным, однако, и по сей день гибкость ума является предметом гордости людей, а способность, производить в уме вычисления вызывает откровенное удивление. Освоение вычислительных навыков развивает память, логическое мышление, наблюдательность и сообразительность. Мы считает актуальным освоение способов устного счета, так как это повысит не только интерес к урокам математики, но и поможет успешно учиться в школе по математике, физике, химии, информатике, сдать экзамены за 9 и 11 класс и пригодится в жизни.

Цель нашей работы: изучение приемов и способов устного счета для использования их при упрощении вычислений. В соответствии с поставленной целью определены задачи:

1. изучить и систематизировать способы и приемы устного счета;

2. проанализировать проверочные работы учащихся 8-х классов с использованием разных способов вычислений;

3. провести анкетирование с целью выяснения отношения учеников к устному счету;

4. создать буклет «Приемы устного счета».

Объекты исследования: устный счет в современном мире.

Гипотеза исследования: применение приемов быстрого счета облегчает вычисления, эффективно сокращает время расчетов, повышает вычислительную культуру в практической жизни,

Приемы и методы исследования:

ñ поисковый метод;

ñ систематизация;

ñ анализ;

ñ наблюдение.

I. Способы и приемы устного счета

1.1. История возникновения устного счета

Что такое устный счет? Устный счет - это математические вычисления, осуществляемые человеком без помощи дополнительных устройств (компьютер, калькулятор, счеты и т.п.) и приспособлений (ручка, карандаш, бумага и т.п.). Первичными предметами для счета были пальцы рук и ног, камешки, ветки, узелки на шнуре. При помощи первичных предметов для счета охотники указывали, сколько предметов они хотят получить за один обмениваемый ими предмет. С развитием земледелия и скотоводства у человека потребности в счете стали значительно больше. Возникла необходимость сначала пересчитать товар, а уж потом приступать к обмену. У чисел появились «имена».

В Англии до сих пор первые 10 чисел называют общим именем «пальцы». В истории человечества пальцы оказались универсальной вычислительной машиной. Много тысячелетий люди считали «двойками» (двоичная система счисления), «пятерками» (пятеричная), «шестерками» (шестеричная), «дюжинами» (двенадцатеричная), «двадцатками» (число пальцев на руках и ногах). Во всех этих нумерациях было очень трудно выполнить арифметические действия сложения, вычитания, умножения и деления. Изобретение в VI веке индийцами десятичной позиционной нумерации (современные цифры) по праву считается одним из крупнейших достижений человечества. Индийская нумерация и индийские цифры обычно называют арабскими.

Древние египтяне были очень религиозны и считали, что душу умершего в загробном мире подвергают экзамену по счёту на пальцах. Умножали на пальцах однозначные числа от 6 до 9. Для этого на одной руке вытягивали столько пальцев, насколько первый множитель превосходил число 5, а на второй делали то же самое для второго множителя. Остальные пальцы загибали. После этого брали столько десятков, сколько вытянуто пальцев на обеих руках, и прибавляли к этому числу произведение загнутых пальцев на первой и второй руке (Приложение 1).

Движение пальца – это еще один из способов помочь памяти: с помощью пальцев рук запомнить таблицу умножения на 9. Положив обе руки рядом на стол, мысленно занумеруем пальцы обеих рук следующим образом: первый палец слева обозначим 1, второй за ним обозначим цифрой 2, затем 3, 4… до десятого пальца, который означает 10. Если надо умножить на 9 любое из первых девяти чисел, то для этого, не двигая рук со стола, надо приподнять вверх тот палец левой руки, номер которого означает число, на которое умножается девять, тогда число пальцев, лежащих налево от поднятого пальца, определяет число десятков, а число пальцев, лежащих справа от поднятого пальца, обозначает число единиц полученного произведения.

1.2. Приёмы устного счета

1.2.1. Общие приемы устного счета

К общим приемам устного счета относятся:

1. Приемы быстрого сложения:

· Сложение десятичных дробей, путем поразрядного сложения, начиная с высших разрядов.

Правило: Отдельно сложить целые части, десятичные доли, а затем сложить полученные результаты.

· Поразрядное сложение чисел.

Правило: К разрядам первого слагаемого прибавляют разряды второго слагаемого, начиная с высших (сотни, десятки и т.д.).

2. Приемы быстрого вычитания:

· Вычитание путем уравнивания числа единиц последних разрядов уменьшаемого.

3.Приемы быстрого умножения:

· Умножение на 4; 8 и 16.

Правило: Чтобы устно умножить число на 4, его дважды удваивают.

Чтобы устно умножить число на 8, его трижды удваивают.

Чтобы устно умножить число на 16, его четырежды удваивают.

· Умножение на 101, 1001, 10101.

Самое простое правило: «Припишите ваше число к самому себе».

При умножении на число 101, 1001, 10101, число надо повторить дважды / трижды:

Правило: Чтобы умножить двухзначное число на 101, надо к этому числу приписать справа это же число.

Чтобы умножить трёхзначное число на 1001, надо к этому числу приписать справа это же число.

Чтобы умножить двухзначное число на 10101, надо к этому числу приписать справа это же число дважды.

· Умножение на 5; 25; 50.

Правило: Чтобы устно умножить число на 5 умножают его на 10 и делят на 2, т. е. приписывают к числу ноль и делят пополам.

При умножении на 5 числа четного удобнее сначала делить пополам и к полученному числу приписать ноль.

Чтобы устно умножить число на 25, умножают его на 100 и делят 4, т. е. умножают на 100/4.

Если число кратно четырем — делят на 4 и к частному приписывают два ноля.

При умножении числа на 50 необходимо умножить его на100 и разделить на 2 (т.к. 50=100:2).

· Умножение двузначного числа на 11.

Правило: Чтобы умножить двузначное число, сумма цифр которого меньше 10, на 11, надо между цифрами числа написать сумму его цифр.

4. Приемы быстрого деления:

· Деление на 0,5; 5; 50 и 500.

Правило: Чтобы число разделить на 0,5; 5; 50 или 500, надо это число разделить на 1; 10; 100 или 1000 соответственно, и затем результат умножить на 2.

· Деление на 25; 2,5; 0,25.

Правило: Чтобы число разделить на 25; 2,5 или 0,25 надо это число разделить на 100; 10 или 1 и умножить на 4.

1.2.2. Нестандартные приемы устного счета

1. Двухзначные числа.

· Умножение чисел, оканчивающихся на 1.

Правило: При умножении чисел, оканчивающихся на 1, надо сначала перемножить цифры десятков и правее полученного произведения записать под этим числом сумму цифр десятков, а затем перемножить 1 на 1 и записать ещё правее. Сложив столбиком, получим ответ.

А1*Е1 = А * Е * 100 + (А+Е) * 10 + 1.

2. Трехзначные числа.

· Деление трехзначных чисел, состоящих из одинаковых цифр, на число 37.

Правило: Результат равен сумме этих одинаковых цифр трехзначного числа (или числу, равному утроенной цифре трехзначного числа).

1.2.3. Специальные приемы устного счета

1. Приемы округления:

Правило: Если одно из слагаемых увеличить на несколько единиц, то из полученной суммы надо вычесть столько же единиц.

Правило: Если одно из слагаемых увеличить на несколько единиц, а второе уменьшить на столько же единиц, то сумма не изменится. На основании этого выполняется округление одного слагаемого за счет другого.

Правило: Если вычитаемое, увеличить на несколько единиц, то, чтобы разность не изменилась, надо и уменьшаемое увеличить на столько же единиц.

Правило: Если уменьшаемое уменьшить на несколько единиц, то к полученной разности надо прибавить столько же единиц.

2. Приемы возведения чисел в квадрат

· Возведение в квадрат любого двузначного числа.

Правило: Для того чтобы найти квадрат любого двузначного числа, надо разность между этим числом и 25 умножить на 100 и к получившемуся произведению прибавить квадрат дополнения данного числа до 50 или квадрат избытка его над 50-ю.

Рассмотрим пример:

(М–25)*100+ (50-M)²=100M-2500+2500–100M+M²=M².

· Возведение в квадрат числа, близкого к «круглому».

Правило: Вычисление квадратов в разобранных примерах основано на формуле а²=(а+в)(а–в)+в², в которой удачный подбор числа в сильно облегчает выкладки: во-первых, один из сомножителей должен оказаться «круглым» числом (желательно, чтобы ненулевой его цифрой была только первая), во-вторых, само число в должно легко возводиться в квадрат, т. е. должно быть небольшим. Эти условия реализуются как раз на числах а, близких к «круглым».

· Возведение в квадрат чисел от 40 до50.

Правило: Чтобы возвести в квадрат число пятого десятка (41,42,43,44,45,46,47,48,49), надо к числу единиц прибавить 15, затем к полученной сумме приписать квадрат дополнения числа единиц до 10 (если этот квадрат - однозначное число, то перед ним приписывается число о).

· Возведение в квадрат чисел от 50 до 60.

Правило: Чтобы возвести в квадрат число шестого десятка (51,52,53,54,55,56,57,58,59) надо к числу единиц прибавить 25 и к этой сумме приписать квадрат числа единиц.

· Возведение в квадрат числа, оканчивающееся на 5.

Правило: Число десятков умножаем на следующее число десятков и прибавляем 25.

· Возведение в квадрат числа, оканчивающегося на 1.

Правило: При возведении в квадрат числа, оканчивающегося на 1, нужно заменить эту единицу на 0, возвести новое число в квадрат и прибавить к этому квадрату исходное число и число, полученное заменой 1 на 0.

· Квадрат числа, оканчивающегося на 6.

Правило: При возведении в квадрат числа, оканчивающегося на 6, нужно заменить цифру 6 на 5, возвести новое число в квадрат (описанным ранее способом) и прибавить к этому квадрату исходное число и число, полученное заменой 6 на 5.

· Квадрат числа, оканчивающегося на 9.

Правило: При возведении в квадрат числа, оканчивающегося на 9, нужно заменить эту цифру 9 на 0 (получим следующее натуральное число), возвести новое число в квадрат и из этого квадрата вычесть исходное число и число, полученное заменой 9 на 0.

· Квадрат числа, оканчивающегося на 4.

Правило: При возведении в квадрат числа, оканчивающегося на 4, нужно заменить цифру 4 на 5, возвести новое число в квадрат и из этого квадрата вычесть исходное число и число, полученное заменой 4 на 5.

· При возведении в квадрат часто бывает удобно воспользоваться формулой (а + b)²= а² + 2аb + b².

II. Люди-феномены

Иногда встречаются люда с феноменальной способностью производить в уме математические действия буквально с астрономическими числами, рассчитывать день недели любого, сколь угодного далекого года, запоминать в прямой и обратной последовательности большое количество слов и цифр. В соответствующей обстановке это производит сильное эмоциональное воздействие на зрителей. Некоторые известные ученые легко обходился без таблицы десятичных логарифмов. Ни одна из возможностей нашего мозга не кажется столь удивительной, как загадка чудо-счетчиков. Среди чудо-счетчиков особенно большой популярностью пользуются задачи, в основе которых лежит календарное исчисление. Психологи пытались объяснить эту способность исключительной памятью, и называют "гипермнезией". Конечно, до какой-то степени мы сталкиваемся здесь с проявлением поистине чудовищной памяти, но одной памятью не объяснить существа явления. Проявляется ли этот дар очень рано или очень поздно, его появление всегда стихийно. Происходит молниеносное превращение. Обладатель дара иногда бывает "отсталым" во всех других областях, но среди цифр он чувствует себя как дома и быстро достигает фантастической виртуозности.

Однажды Морис Дагбер вступил в спор с электронной выделительной машиной, производящей около миллиона операций в секунду. Дагбер заявил, что признает себя побежденным лишь в том случае, если машина решит семь задач раньше, чем он десять. В итоге Дагбер решил все 10 задач за 3 минуты 43 секунды, а электронная машина только за 5 минут 18 секунд!

Подобные соревнования дело непростое. В одном из подобных состязаний участвовал молодой счетчик-феномен из России Игорь Шелушков и электронная вычислительная машина "Мир". Он превосходно выиграл соревнование, как и Дагбер во Франции.

Житель г.Екатеринбурга Марк Вишня прогремел на всю Россию. В популярном телешоу он словно орехи щёлкал задачки на умножение двухзначных чисел, извлечение корня, вычисление логарифма и синуса с косинусом в придачу. Жюри было в восторге, ведь Марку на тот момент… едва исполнилось три года. Сейчас он первоклассник. «Уникальные способности у него стали проявляться в 10-месячном возрасте, - рассказывают родители мальчика. - В два года он вызубрил таблицу умножения. Освоил деление, потом начал вычислять квадратные корни». Кроме того, Марк Вишня запоминает и пересказывает огромные отрывки текстов.

Заключение

Знакомство с темой обогатило нас новыми математическими и историческими знаниями. Мы убедились, что «Счет и внимание – основы порядка в голове» (Песталоцци). С помощью устного счета можно тренировать внимание и память, оттачивать ум. Умение вычислять устно, прикидывать и видеть результат помогут экономить время при выполнении самостоятельных и контрольных работ, и в будущем на экзаменах.

Наработка вычислительных навыков должна быть систематической, ежедневной и стремиться каждый раз усовершенствовать свои навыки в устном счете.

В ходе выполнения практической работы, мы увидели, что в первом математическом диктанте вычисления занимали у учеников много времени, и было допущено много ошибок. После изучения приемов быстрого счета время выполнения диктанта сократилось и качество повысилось.

Мы создали буклет, который предложим своим одноклассникам. Если пользоваться им регулярно, то можно освоить приемы счета и применять их на уроках и при выполнении домашних заданий.

Ну, а калькулятор пусть отдохнет!

Список литературы

1. Зайкин М.Н. Математический тренинг. - Москва, 1996.

2. Игнатьев Е.И. В царстве смекалки/ Под редакцией М.К. Потапова, текстол. Обработка Ю.В. Нестеренко. – 4-е изд. – М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1984, 192 с.

3. Перельман Я.И. Живая математика. - Екатеринбург, Тезис, 1994.

4. Перельман Я.И. Занимательная алгебра. - Екатеринбург, Тезис, 1994.

5. Фирсова Л.М.. Игры и развлечения. Кн.I/Сост. – М.: Мол. Гвардия, 1989. – 237 c., ил.

Интернет-источники

1. https://ru.wikipedia.org/wiki/Устный_счёт - Википедия «Устный счет»

2. http://cepia.ru/math/ - Устный счет

3. http://anisim.org/articles/priemy-bystrogo-scheta-bez-kalkulyatora/ - Приемы устного счета.

4. http://www.junior.ru/students/chukhua/shestoe%20chyvstvo.htm -Твои возможности, человек.

5. http://prostatitusnet.ru/studentu/raznye-materialy/issledovatelskaya-rabota-kak-bystro-schitat-ustno/ - Как быстро считать устно.

среда, 28 декабря 2016 г.

Софизмы в математике

Приложение 1. Экскурс в историю

Приложение 2. Арифметические софизмы

Приложение 3. Алгебраические софизмы

Приложение 4. Геометрические софизмы

Приложение 5. Логические софизмы

Введение

I. Софизм и история его возникновения

1.1. Софизм и софистика

1.2. Экскурс в историю

II. Математические софизмы и их классификация

2.1. Софизмы и типичные ошибки в них

2.2. Математические софизмы

2.3. Шесть основных ошибок в математических софизмах

2.4. Логические софизмы

2.5. Источники софизмов

Заключение

Список литературы

Устный счёт – калькулятор в голове

Введение

I. Способы и приемы устного счета

1.1. История возникновения устного счета

1.2. Приёмы устного счета

1.2.1. Общие приемы устного счета

1.2.2. Нестандартные приемы устного счета

1.2.3. Специальные приемы устного счета

II. Люди-феномены

Заключение

Список литературы

среда, 28 декабря 2016 г.